如何用四维矢量来解决狭义相对论问题（电磁学与动力学）

在上一篇文章中，我们已经介绍了基础的四维矢量与时空变换，这篇文章将在上一篇的基础上进行叙述。

电磁规律的四维矢量表示 #

电量是四维标量 #

在我们之前的介绍中我们已经得到了四维电流密度矢量

$$j_p=(j_x,j_y,j_z,ic\rho )$$

又因为

$$\rho =\gamma {\rho }^{\prime },dV=\frac{d{V}^{\prime }}{\gamma }$$

可以得到

$$\rho dV={\rho }^{\prime }d{V}^{\prime }$$

从中可以看出电量是四维标量

洛伦兹条件 #

由洛伦兹条件

$$\nabla \cdot A+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0$$

即

$${\partial }_{\mu }{A}_{\mu }=0,A_{\mu }=\left(A_x,A_y,A_z,\frac{i}{c}\phi \right)=\left(\mathbf{A},\frac{i}{c}\phi \right)$$

达朗贝尔方程 #

由达朗贝尔方程

$${\nabla }^2\mathbf{A}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=-{\mu }_0\mathbf{j},{\nabla }^2\phi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

且四维标量算符

$$\square ={\partial }_{\mu }{\partial }_{\mu }={\nabla }^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$$

可以得到

$$\square A_{\mu }=-{\mu }_0{J}_{\mu }$$

电磁场张量 #

由电磁场与电磁势的微分关系

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\mathbf{E}=-\nabla \phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$

可以构造四维电磁场张量

$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

即有

$$F_{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& B_3& -B_2& -i{E}_1/c\\ -B_3& 0& B_1& -i{E}_2/c\\ B_2& -B_1& 0& -i{E}_3/c\\ i{E}_1/c& i{E}_2/c& i{E}_3/c& 0\end{array}\right]$$

我们会有变换

$${\mathbf{F}}^{\prime }={\mathbf{LFL}}^{\mathrm{T}}$$

容易得到

$$\begin{array}{c}{\mathbf{E}}^{\prime }=\gamma (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})-(\gamma -1){\mathbf{E}}_{\parallel }\\ {\mathbf{B}}^{\prime }=\gamma \left(\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{E}\right)-(\gamma -1){\mathbf{B}}_{\parallel }\end{array}$$

麦克斯韦方程 #

由麦克斯韦方程

$$\begin{array}{c}\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\nabla \times \mathbf{B}-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}={\mu }_0\mathbf{j}\\ \nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0\end{array}$$

且

$${\partial }_{\nu }{F}_{\mu \nu }={\mu }_0{J}_{\mu }$$

可以得到

$${\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }+{\partial }_{\mu }{F}_{\nu \lambda }+{\partial }_{\nu }{F}_{\lambda \mu }=0$$

电磁力密度和电磁场动量与能量 #

狭义相对论的核心原则是物理定律在所有惯性系中形式相同。经典的洛伦兹力公式

$$F=q(E+v\times B)\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})F=q(E+v\times B)$$

中的

$$\mathbf{E}、\mathbf{B}和\mathbf{v}$$

在洛伦兹变换下并不是简单的矢量变换。为了确保力的定律也是协变的，我们需要引入电磁力的四维矢量。

$$\begin{array}{c}\text{对于四维动量，由动量定理可以得到}\end{array}$$

$$\begin{array}{c}K=\frac{d}{d\tau }(P)=\frac{d}{dt}(P)\cdot \frac{dt}{d\tau }=\gamma \cdot \frac{d}{dt}(P)=\gamma \cdot (\frac{d\vec{p}}{dt},\frac{1}{c}\cdot \frac{d{E}_{tot}}{dt})\\ =\gamma \cdot (\vec{f},\frac{1}{c}\cdot \vec{f}\cdot \vec{u})=\gamma \cdot q\cdot (\vec{E}+\vec{u}\times \vec{B},\frac{1}{c}\cdot \vec{E}\cdot \vec{u})=\frac{q}{c}\cdot F\cdot U\end{array}$$

$$\begin{array}{c}所以可以得到\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{K}^{\prime }=L\cdot K=\frac{q}{c}(L\cdot F\cdot L^{-1})\cdot (L\cdot U)=\frac{q}{c}{F}^{\prime }\cdot U^{\prime }\end{array}$$

$$\begin{array}{c}我们发现K确实是满足洛伦兹协变性的四维矢量\end{array}$$

磁场里的粒子运动 #